Формула Блэка-Шоузла: модель, которая изменила рынок финансов

Фондовый рынок существует и развивается уже много столетий. Трейдеры используют большое количество инструментов для торговли и получения прибыли.

Одними из распространенных инструментов фондового рынка являются опционы. Раньше существовали проблемы оценки стоимости различных инструментов, по какой цене открывать и закрывать позицию, в какой цене закроется день? Поэтому была поставлена задача создать метод оценивания опционов как производных финансовых инструментов.

Проблема заключалась в невозможности оценить конечную цену на опцион. И вот в 1973 году знаменитыми американскими математиками и экономистами была выведена формула, которая позволяла на биржах оценивать стоимость опциона.

Прекрасному результату математики в финансовой сфере было дано имя: «Модель Блэка-Шоулза». Эту модель еще называют формулой. Сейчас её используют в широком спектре финансовых операций: от страхования рисков по портфелю до расчета конечной стоимости опционов на фондовом рынке. Рассмотрим подробнее историю открытия и принцип работы данной модели.

На чем основывается формула Блэка-Шоулза?

Эта модель имеет полное название, как «Ценовая модель для опционных контрактов Блэка-Шоулза» или модель образования цены. Модель подразумевает, что торговле на фондовом рынке опционами европейского типа и базисным активом на него, то конечная стоимость для опциона формируется самими рыночными отношениями. Объясняется формула так:

Цена опциона «call» (покупка) = Ожидаемая будущая цена за акцию – прогнозируемая цена, по которой исполнится опцион.

Данная экономическая формула Блэка-Шоулза активно применяется на практике не только по оценке стоимости опционных контрактов, но и других ценных бумаг, а также для оценки капитала частных компаний.

Ключевой элемент, который определяется в основе данной финансовой модели – это прогнозируемая волатильность выбранного актива. Т.е. при известной стоимости опциона можно ожидать определенное значение волатильности на рынке.

Немного истории и описания

Майрон Шоузл и Роберт Мертон в 1997 году были награждены нобелевской премией в области экономики. К сожалению, Фишер Блэк, имя которого также носит данная модель, скончался до получения нобелевской премии.

Эти ученые и экономисты являются создателями данной знаменитой модели. Их формула оказала огромнейшее влияние на мир финансов и торговлю опционными контрактами и другими производными финансовыми инструментами.

Кстати, после публикации данной формулы, резко возрос интерес к торговле опционами или иными финансовыми инструментами, и их рынок пошел в гору. Спрос высокий и по сей день. Данная модель отвела интуитивные модели определения стоимости и внесла доказательную теоретическую базу в методы определения стоимости опциона.

Кстати, еще до открытия данной формулы, финансисты и экономисты даже не представляли, как использовать такие масштабные математические знания в области финансовых рынков. Для них эта модель тогда считалась революционной.

В современных реалиях финансовых рынков математическое определение возможных рисков и управление капиталом является обычным делом. Математику применяют все. Математика умеет предсказывать будущее поведение финансового инструмента и очень хорошо она это умеет делать.

Но стоит понимать, что никакая математическая модель не дает 100-% вероятности успешного прогноза, в том числе и данная экономическая модель. Но расчетных значений по данной модели достаточно, чтобы принять решение по инвестициям.

Тут даже можно использовать правило: чем больше инвестор рискует, тем больше он может получить прибыли. Но не стоит слепо верить этому факту, потому что некоторые трейдеры слишком большими рисками доводят до обнуления свой торговый счет, а инвесторы терпят убытки.

Математические формулы полностью не сведут риск до нуля, но они помогут оценить правильность решения по инвестициям и сделкам. Так что в этом случае инвестор будет уверен в том, что риски оправданы. Все равно это намного лучше и безопаснее, чем доверять интуиции, как это делали 40-50 лет назад.

Основные теоретические аспекты модели

Блэк и Шоулз сделали несколько предположений, прежде чем вывести свою модель:

  • По базовому активу опционного контракта на покупку дивидендные выплаты отсутствуют на протяжении всего срока действия контракта.
  • Продажа или покупка контракта по опциону без комиссий или затрат на переводы.
  • Процентная ставка на коротком временном промежутке известна и не изменяется за все время работы опционного контракта.
  • Тот, кто приобретает ценную бумагу, может рассчитывать на получение ссуды (причем без рисков) для оплаты полной или частичной стоимости бумаги.
  • Не ограничивается продажа коротких позиций по активу, притом продавец сразу же получает всю сумму от реализации ценных бумаг.
  • Торговля активами не должна прерываться, поведение цены которых не совсем хаотично, а подчиняется геометрическим законам броуновского движения.

Модель выводится на основании страхования рисков. Инвестор страхует себя парной сделкой: он покупает ценные бумаги, и продает на эти же ценные бумаги опционы колл типа.

При двух различных исходах прибыль будет по одной сделке – либо по акциям, которые покроют убытки по опциону, либо по опциону, которые покроют убытки по акциям. В этом случае риски уменьшаются либо сводятся к минимуму.

Инвесторы, которые пытаются свести к минимуму риски и получить прибыль, используя данный метод, регулируют цены на опционы по модели Блэка-Шоулза.

Основные формулы данной модели

Расчетная цена опциона колл:

Расчетная цена опциона пут:

Обозначения:

S – цена, по которой торгуется базовый актив в текущее время.

N(x) – функция нормального распределения, из математической статистики.

X – цена, по которой исполняется опционный контракт.

r – процентная ставка (безрисковая).

T – время работы опционного контракта (экспирация).

s — волатильность на рынке.

Заключение

Модель Блэка-Шоулза позволяет:

  • Формировать безрисковый портфель, основанный на торговле опционами и базовыми активами.
  • Определить цену на опцион (европейского типа).
  • Оценивать капиталы фирм и инвестиции.